Question

8．已知直线y=$\frac{1}{2}$x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．

Answer 1

分析 （1）先求点C的坐标，接着求出一次函数的解析式，进而可得A点坐标，然后将A点坐标代入二次函数解析式即可求出b；
（2）由于P、Q关于抛物线对称轴对称，故PQ与x轴平行，所以只需求P、Q横坐标即可求出PQ长度．延长QP、AE交于点H，易证△HAP≌QEH，从而QH=AH，过点Q作QK⊥AB于点G，则四边形AGQH是正方形，设出Q点坐标，利用QH=QG建立方程即可求出P、Q两点坐标，从而得出答案；
（3）在（2）的条件下，过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，易证△AKM≌△ANG，从而AK=AN，过点D作DL⊥AB于点L，则四边形HALD是矩形，易得△HKQ≌△LND，进而求得HK=LN=2，设出R点坐标，由tan∠HQK=tan∠OAR=$\frac{HK}{HQ}=\frac{2}{5}$建立方程即可求出R点坐标．

解答 解：（1）∵当x=0时，$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+3=3$，
∴C（0，3），
将点C代入$y=\frac{1}{2}x+m$得m=3，
当y=0时，x=-6，
∴A（-6，0），
将点A代入$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+3$得$b=-\frac{5}{2}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3$；
（2）如图2，延长QP、AE交于点H，

∵点P、Q关于对称轴对称，
∴QP∥x轴，
∵AE⊥x轴，
∴∠H=90°，
∵2∠PQF+∠PFQ=90°，
∴∠PQF+∠PFQ=90°-∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，
∴∠PQF=∠HAP，
在△HAP和△QEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{QE=AP}\\{∠HAP=∠PQF}\\{∠H=∠H}\end{array}\right.$
∴△HAP≌△QEH，
∴QH=AH，
过点Q作QG⊥AB于点G，
∴四边形AGQH是正方形，
设点Q（t，$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$），
∴QH=t+6，
QG=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$，
∴t+6=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t+3$，
解得：t=-1或t=-6（舍去），
∴Q（-1，5）；
∵点P、Q关于x=-$\frac{5}{2}$对称，
∴点P（-4，5），
∴PQ=3；
（3）∵DP：DQ=1：4，
∴DP=1，D（-5，5），HD=1，
∵DN⊥QK，∠AMN=45°，过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，

∴AM=AG，
∴KMN+∠KAN=180°，
∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，
∴∠MKA=∠ANG，
∵KAN=∠MAG=90°，
∴∠MAK=∠NAG，
在△AKM和△ANG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAK=∠NAG}\\{∠MKA=∠ANG}\\{AM=AG}\end{array}\right.$
∴△AKM≌△ANG，
∴AK=AN，
过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形，
∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，
在△HKQ和△LND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HKQ=∠DNL}\\{QH=DL}\\{∠H=∠DLN}\end{array}\right.$
∴△HKQ≌△LND，
∴HK=LN，
设HK=LN=m，
则AN=AK=m+1，
∴AH=m+1+m=5，
∴m=2，
∵∠HQK=∠OAR，
∴tan∠HQK=tan∠OAR=$\frac{HK}{HQ}=\frac{2}{5}$，
设R（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+3$），
过点R作RS⊥AB于点S，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+3}{m+6}=\frac{2}{5}$，
∴m=$\frac{1}{5}$或m=-6（舍），
∴R（$\frac{1}{5}$，$\frac{62}{25}$）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程序的解法、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角形函数等知识点，综合性很强，难度较大．本题主要涉及较多的几何知识，因此熟练掌握全等三角形、相似三角形、特殊四边形等基本几何图形的性质是解答本题的关键．