Question

7．如图，AB是⊙O的直径，AB=2．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF．
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和$\widehat{BE}$所围成的图形面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用正六边形的性质利用圆的半径分别作弧得出答案；
（2）首先求出S_扇形EOB=$\frac{1}{6}$π，进而得出S_Rt△OEP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出PB、PE和$\widehat{BE}$所围成的图形面积即可．

解答 解：（1）如图所示：正六边形ACDBEF即为所求；

（2）连结OE，
∵PE切⊙O于E，
∴∠OEP=90°，
∵正六边形ACDBEF内接于⊙O，
∴∠EOB=60°，
∴S_扇形EOB=$\frac{1}{6}$π，
∵∠EOB=60°，∠OEP=90°，
∴tan60°=$\frac{EP}{EO}$=$\sqrt{3}$，
∵EO=1，
∴EP=$\sqrt{3}$，
∴S_Rt△OEP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

点评 此题主要考查了复杂作图以及扇形面积求法，正确掌握切线的性质是解题关键．