Question

14．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°…按此规律所作的第2016个菱形的边长是（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第2015个菱形的边长．

解答 解：连接DB，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AE=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$）²，AG=$\sqrt{3}$AE=3$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（$\sqrt{3}$）^n-1，
则所作的第2016个菱形的边长为（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．
故答案为：（$\sqrt{3}$）²⁰¹⁵．

点评 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解决本题的关键是发现规律．