Question

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=10．以点A为圆心，AC长为半径的弧CD交AB于点D，点E是弧CD上任意一点，EH⊥BC于点H，以EH为边长作正方形EHGF，点F在AB边上，则S_{正方形EFGH}=4．

Answer 1

分析 延长线段FE交线段AC与点M，连接AE，设正方形EHGF的边长为x，用x表示出ME和AM，在直角三角形AME中，由勾股定理即可解得x的值，从而得出正方形EHGF的面积．

解答 解：延长线段FE交线段AC与点M，连接AE，则AE=AC=5，如下图．

设正方形EHGF的边长为x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=10，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
BG=$\frac{FG}{tan∠ABC}$=$\frac{x}{\frac{1}{2}}$=2x．
∵MF∥BC，AC∥EH，∠ACB=90°，
∴四边形CHEM为长方形，
∴ME=CH，MC=EH，EM⊥AC．
ME=CH=BC-BG-HG=10-2x-x=10-3x，AM=AC-MC=AC-EH=5-x．
在直角△AME中，由勾股定理可得：
AE²=AM²+ME²，即5²=（10-3x）²+（5-x）²，
整理，得x²-7x+10=10，
解得x=2，x=5．
∵CH=10-3x＞0，
∴x=5舍去．
S_{正方形EFGH}=x²=2²=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了正方形的性质以及三角函数中的正切，解题的关键是：设正方形EHGF的边长为x，用x表示出ME和AM，在直角三角形AME中，由勾股定理得出关于x的方程．