Question

14．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．
（1）直接判断函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）和y=-2x+1（-4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；
（2）若一次函数y=kx+b（-2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；
（3）将二次函数y=-x²（-1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足$\frac{3}{4}$≤n≤1．

Answer 1

分析 （1）在x的取值范围内，y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y=-2x+1（-4＜x≤2）是有界函数，其边界值是9；
（2）当k＞0时，根据有界函数的定义确定函数过（1，2），（-2，-3）两点；当k＜0时，根据有界函数的定义确定函数过（-2，2），（1，-3）两点；利用待定系数法解答即可；
（3）先设m＞1，函数向上平移m个单位后，x=0时，y=m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y=-x²所过的点，结合平移，求出0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

解答 解：（1）y=$\frac{2}{x}$（x＞0）不是有界函数；
y=-2x+1（-4＜x≤2）是有界函数，
当x=-4时，y=9，当x=2时，y=-3，
∴对于-4＜x≤2时，任意函数值都满足-9＜y≤9，
∴边界值为9．
（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（-2，-3）两点，设y=kx+b，将（1，2）（-2，-3）代入上式得$\left\{\begin{array}{l}k+b=2\\-2k+b=-3\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{3}\\ b=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，所以：y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（-2，2），（1，-3）两点，设y=kx+b，将（-2，2），（1，-3）代入上式得$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=2\\ k+b=-3\end{array}\right.$，即得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{5}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$，函数解析式为y=-$\frac{5}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x=0时，y=m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y=-x²过点（-1，-1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（-1，-1+m）；（0，m）．
∴-1≤-1+m≤-$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1，即0≤m≤$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$≤m≤1．

点评 本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清函数边界值的定义，同时要熟悉平移变换的性质．