Question

3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），AB=4$\sqrt{3}$，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．
（3）利用等腰三角形的特征，分三种情况探讨：OB=OP，PO=PB，BO=BP，进一步综合得出答案即可．

解答 解：（1）如图2，证明：过点A作AM⊥x轴于点M，

∵点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
∴OM=2，AM=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=$\frac{AM}{OM}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理得，OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=4，
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．
（2）如图2，过点A作AN⊥BC于点N，
∵BC⊥OC，AM⊥x轴，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四边形ANCM为矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ABN中，
AN=AB•sinB=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
BN=AB•cosB=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴AN=MC=6，CN=AM=2$\sqrt{3}$，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（8，4$\sqrt{3}$）．
（3）如图，

连接OB，则OB=$\sqrt{64+48}$=4$\sqrt{7}$，
当OB=OP，则P₁（4$\sqrt{7}$，0），P₂（-4$\sqrt{7}$，0）满足条件，
作OB的垂直平分线交x轴于P₃，则P₃满足条件，设P₃（x，0），则x²=（8-x）²+（4$\sqrt{3}$）²，x=7，P₃（7，0）；
O关于BC的对称点P₄（16，0）也满足条件
所以在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形的点有4个P₁（4$\sqrt{7}$，0），P₂（-4$\sqrt{7}$，0），P₃（7，0），P₄（16，0）．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的应用，注意分类讨论思想的渗透．