Question

【题目】如图，直线 ： 与x轴、y轴分别交于A、R两点，直线与x轴、y轴分别交于C、两点，且︰︰．

（1）如图，为直线上一点，横坐标为，为直线上一动点，当最小时，将线段沿射线方向平移，平移后、的对应点分别为、，当最小时，求点的坐标；

（2）如图，将沿着轴翻折，得到，再将绕着点顺时针旋转（）得到，直线与直线、轴分别交于点、．当为等腰三角形时，请直接写出线段的长.

Answer 1

【答案】（1）；(2) 的长为：或 或或.

【解析】

（1）如图，作QM⊥x轴于M，首先说明当P、Q、M三点共线，且PM⊥x轴时，最小，构建一次函数理由方程组确定交点Q的坐标即可；

（2）根据题意，可以分四种情形分别求解，即可解决问题；

解：（1）∵直线l1：，
∴A（-9，0），B（0，12），
∴在Rt△AOB中，AB=15，
∵AB：BC=3：4，
∴BC=20，
∴在Rt△BOC中，OC=16，
即C（16，0），
设直线l2：y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直线l2：，

作QM⊥x轴于M，

，

则△CQM∽△CBO．

∴，

∴，即，

∴，

∴当P、Q、M三点共线，且PM⊥x轴时，PQ+CQ最小，
∴Q（12，3），
平移过程中，点Q'在直线l3上移动，
∵l3∥l1且l3经过点Q（12，3），
∴l3：y＝x13，
作点B（0，12）关于l3的对称点B'，则B'24，-6），连接OB'，与直线l3的交点即为所求点Q'，

∵直线OB'：y＝x，

∴，解得，

∴点Q’的坐标为：.

（2）①如图2中，当AN=AM时，作AG⊥MN于G，易知AG=，

∵∠MAN=∠NMA，
∴sin∠AMN=sin∠BAO=，
∴，
∴AM=，
∴BM=AB-AM=；
②如图2中，当AN=AM时，作AG⊥MN于G，延长AG交OB于K，作KT⊥AB于T．

∵AM=AN，AG⊥MN，
∴∠GAM=∠GAN，
∴KO=KT，设KO=KT=m，
∵△AKO≌△AKT，
∴OA=AT=16，BT=AB-AT=4，
在Rt△BKT中，（12-m）2=m2+42，
∴m=，
在Rt△AKO中，AK=，
∵cos∠GAM=，
∴，

∴，

∴；
③如图4中，当AM=MN时，

∵tan∠MNA=tan∠MAN=，
∴GN=，设AM=MN=n，
在Rt△AGN中，可得n2=（-n）2+（）2，
解得n=，
∴BM=AB=AM=；
④如图5中，当AM=AN时，

由②可知，sin∠GAM=，

∴，
∴BM=；

综合上述，的长为：或 或或.