Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以这三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）根据题中的等式发现一般性规律即可；
（2）利用得出规律变形，计算即可得到结果；
（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n+1-1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

1005×1006

）=

1

4

×（1-

1

1006

）=

1005

4024

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

n

n+1

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．