题目内容

如图1，已知直线y=2x分别与双曲线y=
8
x
、y=
k
x
（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．
（1）求k的值．
（2）如图2，若点A是双曲线y=
8
x
上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=
k
x
（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若点D是直线y=2x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
考点：反比例函数综合题,解分式方程,待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质
专题：综合题
分析：（1）先求出点P的坐标，再从条件OP=2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值．
（2）设点A的坐标为（a，b），易得b=
8
a
，结合条件可用a的代数式表示点B、点C的坐标，进而表示出线段AB、AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值．
（3）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标．
解答：解：（1）过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图1，
联立
y=2x
y=
8
x
，
解得：
x=2
y=4
或
x=-2
y=-4
．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF=2，PF=4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴
OE
OF
=
EQ
FP
=
OQ
OP
．
∵OP=2OQ，
∴OF=2OE=2，PF=2EQ=4．
∴OE=1，EQ=2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y=
k
x
上，
∴k=1×2=2．
∴k的值为2．
（2）如图2，
设点A的坐标为（a，b），
∵点A（a，b）在双曲线y=
8
x
上，
∴b=
8
a
．
∵．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴xC=xA=a，yB=yA=b=
8
a
．
∵点B、C在双曲线y=
2
x
上，
∴xB=
2
8
a
=
a
4
，yC=
2
a
．
∴点B的坐标为（
a
4
，
8
a
），点C的坐标为（a，
2
a
）．
∴AB=a-
a
4
=
3a
4
，AC=
8
a
-
2
a
=
6
a
．
∴S△ABC=
1
2
AB•AC
=
1
2
×
3a
4
×
6
a

=
9
4
．
∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于
9
4
．
（3）①AC为平行四边形的一边，
Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴xD=xB=
a
4
．
∴yD=2xD=
a
2
．
∴DB=
a
2
-
8
a
．
∵AC=
8
a
-
2
a
=
6
a
，
∴
6
a
=
a
2
-
8
a
．
解得：a=±2
7
．
经检验：a=±2
7
是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2
7
．
∴b=
8
a
=
4
7
7
．
∴点A的坐标为（2
7
，
4
7
7
）．
Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，
∵四边形ACDB是平行四边形，
∴AC∥BD，AC=BD．
∴xD=xB=
a
4
．
∴yD=2xD=
a
2
．
∴DB=
8
a
-
a
2
．
∵AC=
6
a
，
∴
6
a
=
8
a
-
a
2
，
解得：a=±2．
经检验：a=±2是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=2．
∴b=
8
a
=4．
∴点A的坐标为（2，4）．
②AC为平行四边形的对角线，
此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴yD=yC=
2
a
．
∴xD=
yD
2
=
1
a
．
∴CD=
1
a
-a．
∵AB=a-
a
4
=
3a
4
，
∴
3a
4
=
1
a
-a．
解得：a=±
2
7
7
．
经检验：a=±
2
7
7
是该方程的解．
∵a＞0，
∴a=
2
7
7
．
∴b=
8
a
=4
7
．
∴点A的坐标为（
2
7
7
，4
7
）．
综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2
7
，
4
7
7
）或（2，4）或（
2
7
7
，4
7
）．
点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点、用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．
练习册系列答案
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k
x
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如果
 
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那么
 
（结论）．
理由
 
．
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25
12
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M1F
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