Question

如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y上，点B的坐标为（-2，3），双曲线y=

k

x

（k＜0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接D，E．
（1）求k的值及点E的坐标．
（2）若点F是OC边上一点，且∠BDE=∠CFB，求直线FB的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得k的值，得到解析式，然后代入点E的横坐标，即可求得E点的坐标；
（2）先求得△FBC∽△DEB，得出CF的长，进而得出OF的坐标，然后应用待定系数法即可求得直线FB的解析式；

解答：解：（1）∵点B的坐标是（-2，3），
∴中点D的坐标是（-1，3），
∵y=

k

x

（k＜0）经过点D，
∴3=

k

-1

，解得k=-3，
∵点E在AB 上，
∴点E的横坐标是-2，
∵y=

-3

x

经过点E，
∴点E的纵坐标是

3

2

，
∴点E的坐标是（-2，

3

2

）；

（2）由（1）得，BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵∠BDE=∠CFB，∠DBE=∠FCB=90°，
∴△FBC∽△DEB，
∴

BD

CF

=

BE

CB

，即

1

CF

=

3 2

2

，
∴CF=

4

3

，
∴OF=

5

3

，即点F的坐标是（0，

5

3

），
设直线FB的解析式为：y=k₁x+b，
则

3=-2k1+b 5 3 =b

解得

k1=- 2 3 b= 5 3

，
∴直线FB的解析式为：y=-

2

3

x+

5

3

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式的方法的应用，三角形相似的判定及性质等．