Question

10．在△ABC中，点G是△ABC的重心，EF过点G，且EF∥BC交AB、AC于点E、F，那么S_△AEF：S_梯形EBCF的值是4：5．

Answer 1

分析 如图，延长AG交BC于H，利用三角形重心的性质得AG=2GH，再根据相似三角形的判定方法得到△AEF∽△ABC，然后利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AG}{AH}$）²=$\frac{4}{9}$，则利用比例的性质可得到S_△AEF：S_梯形EBCF的值．

解答 解：如图，延长AG交BC于H，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GH，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AG}{AH}$）²=（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
∴S_△AEF：S_梯形EBCF=4：5．
故答案为4：5．

点评 本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了相似三角形的判定与性质．