Question

19．已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）按要求作出图形：①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE．
（2）猜想（1）中线段 AD与BE的大小关系，并写出证明思路．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形；
（2）在AE上截取AF=AC，连结BF，证明△ABF≌△ABC，得到BF=BC，∠AFB=∠ACB，证明△ACD≌△EFB，根据全等三角形的性质证明即可．

解答 解：（1）完成作图，如图1所示：
（2）如图2，在AE上截取AF=AC，连结BF，
在△ABF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAB}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF=BC，∠AFB=∠ACB，
∴BF=CD，∠EFB=∠ACD，
在△ACD和△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CD}\\{∠BFE=∠ACD}\\{EF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EFB（SAS），
∴AD=EB．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．