Question

9．按要求完成下列题目．
（1）求：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成$\frac{1}{n（n+1）}$的形式，而$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，这样就把$\frac{1}{n（n+1）}$一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$的值．
（2）若$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{A}{n（n+1）}$+$\frac{B}{（n+1）（n+2）}$
①求：A、B的值：
②求：$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题目的叙述的方法即可求解；
（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；
②根据$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；
（2）①∵$\frac{A}{n（n+1）}$+$\frac{B}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{（A+B）n+2A}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{A+B=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=\frac{1}{2}}\\{B=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴A和B的值分别是$\frac{1}{2}$和-$\frac{1}{2}$；
②∵$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
∴原式=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2）}$
=$\frac{n（n+3）}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了分式的化简求值，正确理解$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$是关键．