Question

如图，△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC=3，BC=3

5

，BE=5，DC=

5

．求证：
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据两边的比值相等以及其夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质可得：∠ACD=∠CBE，因为∠CBE+∠ECD=90°所以∠ACD+∠ECB=90°，即AC⊥BC．

解答：证明：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E=∠ADC=90°，
∵AC=3，BC=3

5

，BE=5，DC=

5

．
∴

AC

CB

=

DC

BE

=

5

5

，
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∵∠CBE+∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
即AC⊥BC．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及垂直的判定，题目比较简单，是中考常见题型．