Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，垂足为D．
（1）若AD=9，BC=16，求BD的长；
（2）求证：AB²•BC=CD²•AD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角梯形

专题：

分析：（1）先根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，再由∠A=90°，BD⊥CD可知∠A=∠BDC=90°，故可得出△ABD∽△DCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由（1）可知△ABD∽△DCB，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠A=90°，BD⊥CD，
∴∠A=∠BDC=90°，
∴△ABD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

BD

BC

，即BD²=AD•BC=9×16=144，
∴BD=12；

（2）∵由（1）可知△ABD∽△DCB，△ABD与△DCB均为直角三角形，
∴

AB2

CD2

=

1 2 AD•AB

1 2 BC•AB

=

AD

BC

，
∴AB²•BC=CD²•AD．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．