Question

18．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请写出所有点M的坐标（请直接写出答案）；若不存在，请说明理由．
【提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）】

Answer 1

分析 （1）把B（12，0）和C（0，-6）代入解析式，然后根据对称轴公式得到关于a，b的方程组，解方程组即可求得；
（2）根据勾股定理求得AC=AD=10，然后通过证得DQ∥AC，得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BQ}{CQ}$，根据DB=AD=10，得出BQ=CQ，根据三角形中位线定理得出DQ=$\frac{1}{2}$AC=5，进而求得AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，所以存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，根据勾股定理求得CQ=3$\sqrt{5}$，进而就可求得点Q的运动速度；
（3）求得P、Q的坐标，设M（1，y），分三种情况利用勾股定理列出关于y的方程，解方程求得即可．

解答 解：（1）∵抛物线过C（0，-6），
∴c=-6，即y=ax²+bx-6，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{144a+12b-6=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{16}$，b=-$\frac{1}{4}$，
∴该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{16}$x²-$\frac{1}{4}$x-6；
（2）存在；
设直线CD垂直平分PQ，
∵B（12，0），C（0，-6），对称轴为x=2，
∴A（-8，0），
∴OA=8，OC=6，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10=AD，
∴点D在对称轴上，连结DQ  显然∠PDC=∠QDC，
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BQ}{CQ}$，
∵AB=20，AD=10，
∴DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴$\frac{BQ}{CQ}$=1，
∴BQ=CQ，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AC=5．
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{6}^{2}+1{2}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴CQ=3$\sqrt{5}$，
∴点Q的运动速度为每秒$\frac{3\sqrt{5}}{5}$单位长度．
（3）∵PD=DQ=5，
∴P（-3，0），
∵B（12，0）和C（0，-6），BQ=CQ，
∴Q（6，-3），
设M（1，y），
当PM=QM时，则（-3-1）²+（0-y）²=（6-1）²+（-3-y）²，
解得y=-3，
∴M₁（1，-3）；
当PQ=PM时，则（-3-1）²+（0-y）²=（-3-6）²+（0+3）²
解得y=±$\sqrt{74}$，
∴M₂（1，$\sqrt{74}$），M₃（1，-$\sqrt{74}$），
当PQ=QM时，则（6-1）²+（-3-y）²=（-3-6）²+（0+3）²，
解得y=-3±$\sqrt{65}$，
∴M₄（1，-3+$\sqrt{65}$），M₅（（1，-3-$\sqrt{65}$）．
综上，存在这样的五点：M₁（1，-3），M₂（1，$\sqrt{74}$），M₃（1，-$\sqrt{74}$），M₄（1，-3+$\sqrt{65}$），M₅（（1，-3-$\sqrt{65}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理以及求解析式的方法是解题的关键．