Question

9．如图，在正方形ABCD中AC与BD交于点O，形外有一点E，使∠AED=90°，且DE=3，OE=4$\sqrt{2}$，则AE=5．

Answer 1

分析 首先过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，易得四边形EMON是正方形，点A，O，D，E共圆，则可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的长，继而证得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，继而求得答案．

解答 解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴$\widehat{OA}$=$\widehat{OD}$，
∴∠AEO=∠DEO=$\frac{1}{2}$∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=4$\sqrt{2}$，
∴EN=4，
∴EM=EN=4，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN-ED=4-3=1，
∴AE=AM+EM=1+4=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．