Question

8．如图，在?ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当BC=2AB=2AE=6时，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质得出BE=DF，再利用全等三角形的判定方法得出即可；
（2）利用等边三角形的判定方法结合平行四边形的面积求法得出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BE=DF，
∴在△ABE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF；

（2）解：过点A作AQ⊥BE，垂足为Q，
∵BC=2AB=2AE=6，BE=EC，
∴AB=AE=BE=3，
∴△ABE是等边三角形，
∴AQ=3×sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形AECF的面积为：6×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和等边三角形的判定与性质，得出△ABE是等边三角形是解题关键．