Question

10．如图，△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于点F，交AB于点E，FG∥BC交AB于G，AE=3，AB=8，求EG的长．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质和三角形的面积公式得到$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$，同理$\frac{AF}{FD}=\frac{AC}{CD}$，代入数据求得$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$，设AC=3m．BC=5m，通过R_t△ACD∽△R_t△BCA，得到比例式$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}$，然后根据平行线分线段成比例得到$\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{AD}$，于是得到AG=5，即可得到结论．

解答 解：∵CE平分∠ACB，
∴点E到AC，BC的距离相等（用h表示）
∴$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{\frac{1}{2}AC•h}{\frac{1}{2}BC•h}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{\frac{1}{2}AE•AC}{\frac{1}{2}BE•AC}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$，同理$\frac{AF}{FD}=\frac{AC}{CD}$，
∵AE=3，AB=8，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$，
设AC=3m．BC=5m，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴R_t△ACD∽△R_t△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}$，
∴CD=$\frac{9}{5}$m，
∴$\frac{AF}{FD}=\frac{3m}{\frac{9}{5}m}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{5}{8}$，
∵FG∥BC，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AF}{AD}$，
∴AG=5，
∴EG=AG-AE=2．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．