Question

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起（如图1），点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，把△ADE绕点A旋转到如图2的位置时，AD、AE与边BC的交点分别为M、N（点M不与点B重合，点N不与点C重合）．
（1）证明：△BAN∽△CMA；
（2）求BN•CM的值；
（3）当△ADE绕点A继续旋转到如图3的位置时，AD交BC于点M，AE、BC的延长线交于点N，此时BN•CM的值是否发生变化？请你说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由题意可得∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可证得∠BANE=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BAN∽△CMA；
（2）由△BAN∽△CMA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BN•CM的值；
（3）由∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可证得∠BANE=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BAN∽△CMA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

解答：（1）证明：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，
∴∠BANE=∠CMA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BAN∽△CMA；

（2）解：∵△BAN∽△CMA，
∴BN：CA=BA：CM，
∵斜边长为2，
∴AC=AB=

2

，
∴BN•CM=2；

（3）解：不变．
理由：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，
∴∠BANE=∠CMA，
又∵∠B=∠ACM=45°，
∴△BAN∽△CMA，
∴BN：CA=BA：CM，
∵AC=AB=

2

，
∴BN•CM=2．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．