题目内容
【题目】（探究）（1）如图①，点E、F、G、H分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，连结EF、FG、GH、HE，将△AEH、△BFE、△CGF、△DHG分别沿EF、FG、GH、HE折叠，折叠后的图形恰好能拼成一个无重叠、无缝隙的矩形．若
，
，求
的长．
（拓展）（2）参考图②，四边形ABCD是平行四边形，
，当按图①的方式折叠后的图形能拼成一个无重叠、无缝隙的正方形时，则
___________．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意可证△HGN≌△EFM，可得HN=FM，且AH=HM，可证AD=HF=5，根据勾股定理可求EH的长．
（2）由探究可得AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF，由EFGH为正方形，可得HF=
EF，∠EFH=45°，解△EFM可得EM=
EF，则可求
的值．
解：（1）如图1
∵折叠后A、B落在点M处，C、D落在点N处．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，∠B=∠D．
由折叠可知，
∠C=∠FNG，∠D=∠HNG，∠B=∠EMF=∠D=∠GNH，HD=HN，MF=BF，AH=MH．
∴H、N、F共线．
∵折叠后的图形恰好能拼成一个无重叠、无缝隙的矩形，
∴H、N、M、F共线，EF=HG，EF∥HG，∠FEH=90°．
∴∠NHG=∠MFE．
∴△EFM≌△GHN．
∴MF=BF=HN=HD．
∴AH+HD=MH+MF．
即AD=FH．
∵AD=5，EF=2，∠FEH=90°，
∴FH=5．
由勾股定理得
；
（2）如图2
由探究可得：AD=HF，BE=EM=AE，∠B=∠EMF
∵∠A=120°，AD∥BC
∴∠B=60°=∠EMF
∵EHGF是正方形
∴EH=EF，∠EFH=45°
∴FH=EF
作EO⊥HF，且∠EFH=45°
∴EO=FO=
EF
∵∠EMF=60°，EO⊥HF，
∴EO=
OM，EM=2MO
∴OM=
EF，EM=EF
∴BE=AE=EF
∴AB=
EF
∴
.
故答案为：.
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