Question

【题目】如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．

（1）AM= ，AP= ．（用含t的代数式表示）

（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值

（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，

①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

②使四边形AQMK为正方形，求 出AC的长．

Answer 1

【答案】（1）8﹣2t，2+t;（2）t=2;（3）

【解析】

（1）由DM=2t，根据AM=AD-DM即可求出AM=8-2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=6-t，则AP=AD-DP=2+t；
（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得6-t=8-（6-t），解方程即可；
（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程6-t-2t=8-（6-t），求解即可，
②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．

解：（1）如图1．

∵四边形CNPD为矩形 ∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，

∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；

故答案为：8﹣2t，2+t．

（2）∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，

∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2，

（3）①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由如下：

∵NP⊥AD，QP=PK

∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形

∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，

②要使四边形AQMK为正方形．

∵∠ADC=90°,∴∠CAD=45°

∴四边形AQMK为正方形，则CD=AD，

∵AD=8,∴CD=8,

∴AC＝．故答案为：