Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；

(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；

(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.

【解析】

(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．

(1)∵抛物线经过点和点．

∴抛物线的表达式为：，

∴对称轴为：x==-2，

把x=-2代入得：y=4，

∴顶点.

(2)设点，

则，，

矩形的周长，

∵，

∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.

(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）

∴，，

①当时，

∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，

∴，

∴，

∴=AB-AM=1；

②当时，则，

∵∠DMN=∠DBA，

∴∠NDM=∠DBA，

∵∠DAB是公共角，

∴，

∴，

∴，即：，

∴，

∵，即，

∴；

③当时，

∵，而，

∴，

∴；

综上所述：或．