Question

1．己知抛物线y₁=-x²+1，直线y₂=x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂，若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M，若y₁=y₂，记M=y₁=y₂，例如：当x=1时，y₁=0，y₂=2，y₁＜y₂，此时M=0，下列判断：
①当x＜0时，x值越大，M值越小；
②使得M大于1的x值不存在；
③使得M=$\frac{1}{2}$的x值是-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
④使得M=$\frac{1}{2}$的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①错误．观察图象可知当x＜0时，x值越大，M值越大．
②正确．因为y₁=-x²+1的最大值为1，所以使得M大于1的x值不存在．
③错误．使得M=$\frac{1}{2}$的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
④正确．求出x=-$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{2}}{2}$时y的值即可判断．

解答 解：①错误．观察图象可知当x＜0时，x值越大，M值越大．故①错误．
②正确．因为y₁=-x²+1的最大值为1，所以使得M大于1的x值不存在，故②正确．
③错误．使得M=$\frac{1}{2}$的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，故错误．
④正确．∵x=-$\frac{1}{2}$时，y₁=$\frac{3}{4}$，y₂=$\frac{1}{2}$，∴M=$\frac{1}{2}$，
∵x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，∴M=$\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查二次函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，所以中考常考题型．