Question

2．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．
（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；
（2）求点P到直线CD距离的最大值；
（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）△AMN是等边三角形，AM⊥BC时面积最小．只要证明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解决问题．
（2）如图2中，当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的长，再证明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．

解答 解：（1）如图1中，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形
在△AMB和△ANC中，
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，面积最小，
此时AM=MN=AN=2$\sqrt{3}$，S_△AMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2$\sqrt{3}$）²=3$\sqrt{3}$

（2）如图2中，

当AM⊥BC时，点P到CD距离最大．作PE⊥CD于E．
理由：由（1）可知△AMN是等边三角形，
当AM⊥BC时，△AMN的边长最小，此时PA长最小，PC的长最大，点P到直线CD距离的最大，
∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，
∴PC=$\frac{1}{2}$MC=1，
在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，
∴EC=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\sqrt{P{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点P到直线CD距离的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，EF+PF最短，由于对称，PF=KF，EF为垂线段（垂线段最短）．

连接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．
在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$，HM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=$\frac{7}{2}$，AM=$\sqrt{A{H}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△AMN是等边三角形，
∴AG=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．
∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，
∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，
∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，
∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，
∴∠APG=∠EAK，
∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，
∴△AGP≌△KEA，
∴KE=AG=$\frac{\sqrt{39}}{2}$．
∴EF+PF的最小值为$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∵∠PCN=∠PCM，
∴$\frac{{S}_{△PCN}}{{S}_{△PCM}}$=$\frac{PN}{PM}$=$\frac{\frac{1}{2}•CN•h}{\frac{1}{2}•CM•h}$=$\frac{CN}{CM}$=$\frac{1}{3}$，
∴PN=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴AE=PG=GN-PN=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∵在Rt△AFE中，∠AFE=30°，∴AF=2AE，
∴AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．