Question

18．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析 （1）由C的坐标得出CO的长，根据BO=CO得出BO的长，进而确定出B的坐标，将B和C的坐标代入二次函数解析式中求出b、c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，利用抛物线与x轴的交点问题求出A（-1，0），把解析式配成顶点式得到D（1，-4），然后根据三角形面积公式，利用S_{四边形ABDC}=S_△OAC+S_梯形OCDE+S_△EBD进行计算即可．

解答 解：（1）∵点C的坐标为（0，-3），且BO=CO，
∴点B的坐标为（3，0），
把（0，-3），（3，0）代入y=x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3；

（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，如图，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
则D（1，-4），
S_{四边形ABDC}=S_△OAC+S_梯形OCDE+S_△EBD
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×2×4
=1.5+3.5+4
=9．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．也考查了抛物线与x轴的交点问题和三角形面积公式．