Question

3．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过AD作DF∥AE交BC的延长线于点F，过点C作CG⊥DF于点G．延长AE、GC交于点H，点P是线段DG上的一点，连接CP，将△CPG沿CP翻折得到△CPG′，连接AG′，若CH=1，DH=3$\sqrt{2}$，则AG′长度的最小值是$\sqrt{26}$-2．

Answer 1

分析 如图，作DM⊥AE于M，首先证明四边形DMHG是正方形，求出正方形DMHG的边长，以及AC的长，因为点P在线段DG上运动时，点G′在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，所以当A、G′、C共线时，AG′最小．由此即可解决问题．

解答 解：如图，作DM⊥AE于M．

∵AH∥DF，GH⊥DF，
∴∠MHG=∠HGD=∠DMH=90°，
∴四边形DMHG是矩形，
∵∠ADC=∠MDG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠DGC}\\{∠ADM=∠CDG}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDG（AAS），
∴DM=DG，
∴四边形DMHG是正方形，
∵DH=3$\sqrt{2}$，
∴DM=MH=GH=DG=3，
∵CH=1，
∴CG=HG-HC=2，
在Rt△DCG中，CD=$\sqrt{D{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{26}$，
∵点P在线段DG上运动时，点G′在以C为圆心，CG为半径的圆上运动，
∴当A、G′、C共线时，AG′最小，
∴AG′的最小值为AC-CG′=$\sqrt{26}$-2．
故答案为$\sqrt{26}$-2．

点评 本题考查翻折变换、正方形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题．