题目内容
2．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个矩形，称为第一操作，在余下的矩纸片中再剪去一个正方形，又余下一个矩形，称为第二操作；…依此类推，若第n次操作余下的矩形是正方形，则称矩形为n阶准正方形，例如边长为1和2的矩形为1阶准正方形．（1）邻边长分别为2和3的矩形是2阶准正方形；
（2）已知长为1，宽为a的矩形（$\frac{1}{2}$＜a＜1）是3阶准正方形，求a的值．
分析 （1）根据正方形的剪法找出第一、二次操作后，余下矩形的邻边长，由经第二次操作后邻边长相等即可得出该矩形为2阶准正方形；
（2）根据正方形的剪法找出第一、二次操作后，余下矩形的邻边长，结合该矩形为3阶准正方形，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
解答 解：（1）第一次操作后，余下矩形的邻边长为2，1；
第二次操作后，余下矩形的邻边长为1，1．
∴邻边长分别为2和3的矩形是2阶准正方形．
故答案为：2．
（2）∵矩形的长为1，宽为a（$\frac{1}{2}$＜a＜1），
∴第一次操作后，余下矩形的邻边长为（1-a），a；
第二次操作后，余下矩形的邻边长为（1-a），（2a-1）．
又∵该矩形为3阶准正方形，
∴2（1-a）=（2a-1）或（1-a）=2（2a-1），
解得：a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{3}{5}$．
∴当长为1，宽为a的矩形（$\frac{1}{2}$＜a＜1）是3阶准正方形时，a的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{5}$．
点评 本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是：（1）根据正方形的剪法找出第二次操作后邻边长长度；（2）根据3阶准正方形的定义找出关于a的一元一次方程．
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