Question

10．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x²-2mx+m²-2与直线x=-2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为y_P，求y_P的最小值，此时抛物线F上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁＜x₂≤-2，比较y₁与y₂的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线F：y=x²-2mx+m²-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F的表达式；
（2）根据题意，可以求得y_P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y₁与y₂的大小；
（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题

解答 解：（1）∵抛物线F经过点C（-1，-2），
∴-2=（-1）²-2×m×（-1）+m²-2，
解得，m=-1，
∴抛物线F的表达式是：y=x²+2x-1；
（2）当x=-2时，y_p=4+4m+m²-2=（m+2）²-2，
∴当m=-2时，y_p的最小值-2，
此时抛物线F的表达式是：y=x²+4x+2=（x+2）²-2，
∴当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∵x₁＜x₂≤-2，
∴y₁＞y₂；
（3）m的取值范围是-2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≤2}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≥2}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2≥0}\\{{2}^{2}-2m×2+{m}^{2}-2≥2}\\{0＜-\frac{-2m}{2×1}＜2}\end{array}\right.$，
解得，-2≤m≤0或2≤m≤4．

点评 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．