Question

5．已知抛物线y=2x²-4mx+m²的顶点D在直线y=4x+4上．
 （1）求顶点D的坐标；
 （2）设抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，试求四边形DACB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数顶点坐标公式求出用m表示的顶点坐标，代入直线y=4x+4，求出m的值即可；
（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，然后求四边形DACB的面积．

解答 解：（1）∵y=2x²-4mx+m²，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4m}{4}$=m，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{8{m}^{2}-16{m}^{2}}{8}$=-m²，
∴D（m，-m²），
将D点坐标代入直线y=4x+4，得
m²+4m+4=0，
解得m=-2，
∴D（-2，-4）；
（2）∵m=-2，
∴y=2x²+8x+4，
令y=0，得2x²+8x+4=0，解得x₁=-2+$\sqrt{2}$，x₂=-2-$\sqrt{2}$，
∴A（-2-$\sqrt{2}$，0），B（-2+$\sqrt{2}$，0），
∴AB=2$\sqrt{2}$，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴S_{四边形DACB}=S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=8$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标以及待定系数法，根据待定系数法求出m的值是解决问题的关键．