Question

15．如图，已知AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD=AE．
（2）连接BC，作直线AO．求证：AO垂直平分BC．

Answer 1

分析 （1）根据垂直得出∠BDO=∠CEO=90°，∠ADC=∠AEB=90°，根据AAS推出△ADC≌△AEB，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，根据AAS推出△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质得出OB=OC，根据线段垂直平分线性质得出即可．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO=90°，∠ADC=∠AEB=90°，
在△ADC和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AEB}\\{∠A=∠A}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；

（2）∵△ADC≌△AEB，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
在△BDO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠CEO}\\{∠B=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△CEO（AAS），
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴A和O都在线段BC的垂直平分线上，
即AO垂直平分BC．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．