Question

5．如图，等边三角形ABC的边长为8，CD⊥AB于点D，E为射线CD上一点，以BE为边在BE左侧作等边三角形BEF，求DF的最小值．

Answer 1

分析 首先证明△CBE≌△ABF，推出∠BAF=∠BCE，由CA=CB，CD⊥AB，推出∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AD=BD=4，推出∠BAF=30°=定值，根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小．

解答 解：如图，∵△ABC，△BEF的是等边三角形，
∴AB=BC，BF=BE，∠ABC=∠ACB=∠EBF=60°，
∴∠CBE=∠ABF，
在△BCE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBF=∠ABF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$
∴△CBE≌△ABF，
∴∠BAF=∠BCE，
∵CA=CB，CD⊥AB，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AD=BD=4，
∴∠BAF=30°=定值，
∴根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小，
∴DF的最小值=$\frac{1}{2}$AD=2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出∠FAD=30°=定值，属于中考常考题型．