Question

15．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12厘米，高AD=8厘米，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上
（1）当PN=PQ时，PN的长度是多少？
（2）设PN的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时，求y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围．
（3）当PN的长度是多少时，矩形零件PQMN的面积最大？

Answer 1

分析 （1）当PN=PQ时，矩形PQMN是正方形，设PN长为x厘米，由正方形的性质得出PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，代入数据求解即可；
（2）先证明△APN∽△ABC，再根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列出比例式，即可求解；
（3）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵PN=PQ，
∴矩形PQMN为正方形，
∴PN∥BC，PQ∥AD，
根据平行线的性质可以得出：$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
设PN长为x厘米，则PQ=x，BC=12，AD=8，PN=x，
即$\frac{x}{8}$=$\frac{BP}{AB}$、$\frac{x}{12}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AP+BP=AB，
∴$\frac{x}{8}$+$\frac{x}{12}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
解得x=$\frac{24}{5}$．
答：当PN=PQ时，PN的长度是$\frac{24}{5}$厘米；

（2）设PN的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时，
∵四边形PQMN为矩形，
∴BC∥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，$\frac{x}{12}$=$\frac{8-y}{8}$，
∴y与x之间的函数关系式为y=8-$\frac{2}{3}$x（0＜x＜12）；

（3）矩形PQMN面积=xy=x（8-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+8x=-$\frac{2}{3}$（x-6）²+24，
故当PN的长度是6厘米时，矩形零件PQMN的面积最大，最大面积为24平方厘米．

点评 本题考查的是相似三角形的应用，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x的取值和面积的最大值是解题关键．