Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），

    B（﹣1，0）两点．

   （1）求抛物线的解析式；

   （2）在第三象限的抛物线上有一动点D．

    ①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形

    ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．

    ②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x

    轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与 

    点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，

    请说明理由．

                           

Answer 1

解：（1）把点A（﹣4，0），B（﹣1，0）代入解析式y=ax²+bx+3，

            得，解得，

           ∴抛物线的解析式为：y=x²+x+3．           5分

       （2）①如图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．

                                      

            ∵S_▱ODAE=6，OA=4，

            ∴S_△AOD=OA•DH=3，

            ∴DH=．

            因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，

            ∴x²+x+3=﹣，

            解得：x₁=﹣2，x₂=﹣3．                     

            ∴点D坐标为（﹣2，﹣）或（﹣3，﹣）．             8分

          当点D为（﹣2，﹣）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；

          当点D为（﹣3，﹣）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．10分

          ②假设存在．

          如图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，

          则DM：CN=：2．

                                            

          设D（m，m²+m+3）（m＜0），则F（m，m+3）．

          ∴CN=﹣m，NF=﹣m

          ∴CF==﹣m．

          ∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，

          ∴△DMF∽△CNF，

          ∴，

          ∴DF=CF=﹣m．

          ∴DN=NF+DF=﹣m﹣m=﹣m．

          又DN=3﹣（m²+m+3）=﹣m²﹣m，

          ∴﹣m²﹣m=﹣m

          解得：m=﹣或m=0（舍去）

          ∴m²+m+3=﹣

          ∴D（﹣，﹣）．

          综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣，﹣）