Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为4$\sqrt{5}$或$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．

解答 解：①如图1，
，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4$\sqrt{5}$．
②如图2，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，BD的长为4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质与勾股定理是解题的关键．