Question

6．已知Q是圆内接四边形ABCD的对角线的交点，PB、PD是圆的切线，且P在直线AC上，求证：（1）$\frac{QA}{OC}$=$\frac{AB•AD}{CB•CD}$；（2）$\frac{QA}{QC}$=$\frac{PA}{PC}$．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定方法得出△AQB∽△DQC以及△AQD∽△BQC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（2）根据相似三角形的判定方法得出△PAD∽△PBC以及△PAB∽△PBC，进而利用相似三角形的性质得出答案．

解答 证明：（1）如图所示：
∵Q是圆内接四边形ABCD对角线的交点，∠ABQ=∠DCQ，
∠AQB=∠DQC，
∴△AQB∽△DQC，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QA}{DQ}$①，
同理可得：△AQD∽△BQC，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DQ}{QC}$②，
由①×②得：
$\frac{AB}{CD}$×$\frac{AD}{BC}$=$\frac{QA}{DQ}$×$\frac{DQ}{QC}$，
∴$\frac{QA}{QC}$=$\frac{AB•AD}{BC•DC}$；

（2）如图所示：∵PB、PD是圆的切线，
∴PB=PD，∠PDA=∠PCD，
∵∠DPA=∠CPD，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{AD}{DC}$③，
同理可得：△PAB∽△PBC，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AB}{BC}$④，
∴由③×④得：$\frac{PD}{PC}$×$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{DC}$×$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB•AD}{BC•CD}$，
由（1）得：$\frac{QA}{QC}$=$\frac{PA}{PC}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．