Question

3．AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一个点，C是弧BE的中点，弦CD⊥AB，G为垂足，且交BE于点H，经过点E作⊙O的切线交DC的延长线于点F．
（1）按边分类，△BCH和△EFH是什么三角形？
（2）如果CE∥AB，求∠EFD．

Answer 1

分析 （1）△BCH和△EFH是等腰三角形，只要证明∠HBC=∠HCB，∠FHE=∠FEH即可解决问题．
（2）如图2中，连接AC、OC、OE．首先证明$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AE}$，推出∠BOC=∠COE=∠AOE=60°，推出△EFH是等边三角形即可．

解答 解：（1）按边分类，△BCH和△EFH是等腰三角形．
理由：∵弦CD⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∵C是弧BE的中点，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{CB}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BCH=∠EBH，
∴CH=BH，
即△BCH是等腰三角形；
如图1中，连接OE，

∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEB+∠FEH=90°，
∵∠EHF=∠BHG，∠BHG+∠OBE=90°，
∴∠EHF+∠OBE=90°，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠EHF=∠FEH，
∴FH=FE，
即△EFH是等腰三角形；

（2）如图2中，连接AC、OC、OE．

∵EC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AE}$，
∴∠BOC=∠COE=∠AOE=60°，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠BGH=90°，∠BHG=∠FHE=60°，
∵FH=FE，
∴△FHE是等边三角形，
∴∠EFD=60°．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定等知识，解题的关键的灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．