题目内容
15．
如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点．与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，过P作PF∥BC．（1）求证：BD=FD；
（2）当P和Q运动到2秒的时候，∠BQD=30°，求P和Q的速度．
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出它的长度．如果改变，说明理由．
分析 （1）先证明△AFP是等边三角形，则AP=PF=BQ，再证明△BDQ≌△FDP，得BD=FD；
（2）设P和Q的速度为v，则AP=BQ=2v，根据直角△QPC中，30°角所对的直角边是斜边的一半列式得出结论；
（3）作辅助线，构建平行四边形EQBP，先证明△AEP≌△BFQ，得AE=BF，PE=FQ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：?EQBP，则对角线互相平分，DE=DF=$\frac{1}{2}$EF，因为EF=AB，所以DE=3，不会改变．
解答 
证明：（1）如图1，由题意得：AP=BQ，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60°，∠FPD=∠QBD，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=AP，
∴PF=BQ，
∵∠FDP=∠BDQ，
∴△BDQ≌△FDP，
∴BD=FD；
（2）如图1，∵∠C=60°，∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，
设P和Q的速度为v，则AP=BQ=2v，
∴PC=6-2v，QC=6+2v，
则6+2v=2（6-2v），
v=1，
答：P和Q的速度为1；
（3）如图2，在运动过程中线段ED的长不会发生变化，理由是：
作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接QE、PF，
∵PE⊥AB，
∴∠AEP=∠QFB=90°，PE∥FQ，
∵∠A=∠ABC=∠QBF=60°，AP=BQ，
∴△AEP≌△BFQ，
∴AE=BF，PE=FQ，
∴四边形EQFP是平行四边形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵BE+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，即AB=6，
∴DE=3，
∴在运动过程中线段ED的长不会发生变化．
点评 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形、全等三角形、直角三角形的性质，还考查了平行四边形的性质和判定，（1）（2）较为基础，（3）有难度，恰当地构建平行四边形是关键，证明三角形全等是第3问的突破口，由对应边相等，利用平行四边形的对角线互相平分及线段的和进行变形，从面得出结论．
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