Question

已知AO⊥BO，OB＜OA＜2OB，在AO上取一点C使AC=BO，在BO上取一点D使BD=CO，连接AD、BC交于P．求证：∠APC=45°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：作BE⊥OB，且BE=BO，连接DE交BC于Q，如图，先利用“SAS”证明△BOC≌△EBD，则∠2=∠1，BC=DE，易得∠1+∠3=90°，则∠BQE=90°，由于AC=OB，而BE=BO，则AC=BE，而AC∥BE，于是可证明四边形ACBE为平行四边形，则AE∥BC，AE=BC，根据平行线的性质得∠AED=∠BQE=90°，AE=DE，则△AED为等腰直角三角形，得到∠EAD=45°，然后根据平行线的性质即可得到∠APC=∠EAD=45°．

解答：证明：作BE⊥OB，且BE=BO，连接DE交BC于Q，如图，
∵AO⊥BO，BE⊥BC，
∴∠COB=∠DBE=90°，
在△BOC和△EBD中，

OC=BD ∠COB=∠DBE BO=EB

，
∴△BOC≌△EBD（SAS），
∴∠2=∠1，BC=DE，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠BQE=90°，
∵AC=OB，
而BE=BO，
∴AC=BE，
∵AO⊥BO，BE⊥BC，
∴AC∥BE，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∴AE∥BC，AE=BC
∴∠AED=∠BQE=90°，AE=DE，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∴∠APC=∠EAD=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了平行四边形的判定与性质．