Question

已知，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作AC⊥BQ交y轴于点D．
（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．
（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,旋转的性质

专题：

分析：（1）根据垂直的定义可得∠ACB=90°，然后判断出点O、C、B、A四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等解答；
（2）分别以AN、AB为直角边构造出等腰直角△AND和△ABC，连接BD、CN，根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAN，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACN全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CN，全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACN，然后求出BD⊥CN，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MP∥BD且MP=

1

2

BD，OP∥CN且OP=

1

2

CN，然后解答即可．

解答：（1）证明：∵A（-3，0），点B（0，3），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵AC⊥BQ，
∴∠ACB=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴点O、C、B、A四点共圆，
∴∠OCQ=∠BAO=45°，
故：∠OCQ的度数不变，是45°；

（2）解：如图，分别以AN、AB为直角边构造出等腰直角△AND和△ABC，连接BD、CN，
∵∠BAD+∠BAN=∠CAN+∠BAN=90°，
∴∠BAD=∠CAN，
在△ABD和△ACN中，

AD=AN ∠BAD=∠CAN AB=AC

，
∴△ABD≌△ACN（SAS），
∴BD=CN，∠ABD=∠ACN，
∴∠DBO+∠NCO=∠ABO+∠ACO=90°，
∴BD⊥CN，
∵点P为BN的中点，
∴MP、OP分别是△BDN和△BCN的中位线，
∴MP∥BD且MP=

1

2

BD，OP∥CN且OP=

1

2

CN，
∴MP=OP且MP⊥OP．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，难点在于（1）考虑利用四点共圆求解，（2）作辅助线构造出全等三角形．