Question

19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，那么$\frac{AF}{BF}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到∠DEB=90°，设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，根据矩形的性质得到GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=5$\sqrt{34}$，通过△BDC∽△DEF，得到$\frac{DF}{CD}=\frac{DE}{BC}$，求出BF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，于是得到结论．

解答 解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$，
∴设AD=1，BC=4，
过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形．
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5
∴AB=CD=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=5$\sqrt{34}$，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，
∵∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
∴DF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，
∴BF=$\frac{25\sqrt{34}}{8}$，
∴AF=AB-BF=$\frac{15\sqrt{34}}{8}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{5}$．
故选B．

点评 此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常用辅助线解决问题．