Question

【题目】已知：二次函数y＝x2﹣mx+m+1(m为常数).若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上.

(1)求m的值.

(2)四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式.

Answer 1

【答案】（1）m=4;（2）y=x2-2x-2．

【解析】

（1）根据二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；

（2）由（1）得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；

解：（1）∵二次函数y＝x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，

∴△=m2-4×1×（m+1）=0，

整理，得m2-3m-4=0，

解得m1=4，m2=-1，

又∵点A在x轴的正半轴上，

∴m=4，

（2）由（1）得点A的坐标为（2，0），

∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，

∴点B的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，-2），

设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数），

∴ ，

解得b＝2， c＝2，

∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2-2x-2．