Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻折，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD
（1）求证：△PCF的周长=

2

CD；
（2）设DE交AC于G，若

PE

EF

=

5

3

，CD=6，求FG的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）如图，连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知CP+PF+CF=BC=

2

CD；
（2）如图，作GK⊥EF于点K．设PF=5x，EF=CF=3x．在Rt△FCP中，利用勾股定理求得：CP=4x．根据（1）中的结论借助于方程求得x的值，从而得到CF=EF=3x=

3

2

2

．通过锐角三角函数的定义推知：

CP

CF

=

4

3

，故设GK=4a，FK=3a，EK=4a，结合已知条件求得a的值，则易知FG=5a．

解答：解：（1）如图，连接CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，
∴BD=CD．
∵由翻折可知BD=DE，
∴CD=BD=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE-∠DEA=∠DEC-∠DEF，即∠FCE=∠FEC，
∴FC=FE，
∴CF+PF=PE=BP，
∴CP+PF+CF=BC=

2

CD
∴△PCF的周长=

2

CD；

（2）∵

PF

EF

=

5

3

，
∴设PF=5x，EF=CF=3x．
∵在Rt△FCP中，PF²=CP²+CF²，
∴CP=4x．
∵CP+PF+CF=

2

CD，
∴4x+5x+3x=6

2

，则x=

2

2

，CF=EF=3x=

3

2

2

如图，作GK⊥EF于点K．
∵tan∠GFE=tan∠PFC=

4x

3x

=

4

3

，
∴设GK=4a，FK=3a，EK=4a，
∴EF=7a=

3

2

2

，
∴a=

3

14

2

，FG=5a=

15

14

2

，
∴FG的长为

15

14

2

．

点评：本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线以及锐角三角函数的定义等综合题型．需要学生具备一定的运算求解、推理论证的能力．