Question

已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F，G分别是边BC，AB，AC的中点，求证：∠FEG=∠FDG=∠BAC．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线,平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GE∥AB，FE∥AC，然后判断出四边形AFEG是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠FEG=∠BAC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半DF=AF，DG=AG，根据等边对等角可得∠FDA=∠FAD，∠GDA=∠GAD，然后求出∠FDG=∠BAC，再等量代换即可得证．

解答：证明：∵E，F，G分别是边BC，AB，AC的中点，
∴GE∥AB，FE∥AC（三角形中位线定理），
∴四边形AFEG是平行四边形，
∴∠FEG=∠BAC，
又∵AD垂直于BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴DF=AF，DG=AG（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠FDA=∠FAD，∠GDA=∠GAD，
∴∠FDA+∠GDA=∠FAD+∠GAD，
即：∠FDG=∠BAC，
∴∠FEG=∠FDG=∠BAC．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的性质判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．