Question

2．用一根长为a的铁丝分别围成长和宽之比为2：1的长方形、正方形和圆三种图形，试分别用含a的代数式表示围成后这三个图形的面积，猜想并通过取数验证同样长的铁丝围成什么图形的面积会最大？

Answer 1

分析 设长方形的宽为x，则长为2x，用a表示x得到x=$\frac{1}{6}$a，利用长方形的面积公式得到长方形的面积=$\frac{1}{18}$a²，正方形的边长为$\frac{1}{4}$a，则正方形的面积=$\frac{1}{16}$a²；设圆的半径为r，利用圆的周长公式得到r=$\frac{a}{2π}$，所以圆的半径=$\frac{1}{4π}$a²，可猜得围成圆的面积最大，然后取a=4进行验证．

解答 解：设长方形的宽为x，则长为2x，x+2x=$\frac{1}{2}$a，解得x=$\frac{1}{6}$a，所以长方形的面积=2x•x=2x²=2×（$\frac{1}{6}$a）²=$\frac{1}{18}$a²；
正方形的面积=（$\frac{1}{4}$a）²=$\frac{1}{16}$a²；
设圆的半径为r，则2πr=a，解得r=$\frac{a}{2π}$，所以圆的半径=π•（$\frac{a}{2π}$）²=$\frac{1}{4π}$a²；
结论：围成圆的面积最大．
验证：当a=4时，长方形的面积=$\frac{8}{9}$，正方形的面积=1，圆的面积=$\frac{4}{π}$，
而$\frac{8}{9}$＜1＜$\frac{4}{π}$，
即圆的面积最大．

点评 本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．