Question

如图所示，在等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC、上的点，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，BE=3，则△ABC的周长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：由△ABC是等边三角形和DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，推出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，进一步得出答案即可．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，
∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-90°-30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
在△ADF、△BED、△CFE中，

∠ADF=∠BED=∠CFE ∠A=∠B=∠C DF=DE=EF

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF，
∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∴AB=3BE=9，
∴△ABC的周长为9×3=27．
故答案为：27．

点评：此题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要锻炼学生的推理能力．