Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角45°的三角形如图放置，使三角形斜边的两个端点分别与A、D重合，E为直角顶点，连接EC、BE
（1）延长CE、BA交于F，设BE与AC相交于点O，则OE与EF的关系应为OE=EF，OE⊥EF；
（2）在（1）的条件下，已知AF=2，AO=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△EAB≌△EDC得BE=EC，∠AEB=∠DEC，进而可以证明∠BEC=90°，然后证明△BEF≌△CEO即可解决问题．
（2）由（1）可知BF=OC，设AB=x则BF=x+2，OC=2x-1，故x+2=2x-1解方程即可．

解答 （1）结论OE=EF，OE⊥EF．理由如下：
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，
∵∠F+∠ACF=90°，∠F+∠FBE=90°，
∴∠FBE=∠OCE，
在△BEF和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠ECO}\\{∠BEF=∠OEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEO，
∴OE=EF，OE⊥EF．
（2）由（1）可知△BEF≌△CEO，
∴BF=CO，设AB=x，则AC=2x，BF=x+2，OC=2x-1，
∴x+2=2x-1，
∴x=3，
∴AB=3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是用了两次全等，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．