Question

3．正方形ABCD和正方形DEFG如图①放置，保持正方形ABCD不动，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当0°＜α＜90°时，如图②，连结AE、CG，则AE：CG=1；
（2）当90°＜α＜180°时，如图③，连结AE、CG，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）将图③中的正方形ABCD和正方形DEFG分别改为矩形ABCD和矩形DEFG，且使AD=4，CD=6，ED=2，GD=3，如图④，求AE：CG的值．

Answer 1

分析 （1）证明△ADE≌△CDE即可证得；
（2）同（1）可证明△ADE≌△CDE即可证得；
（3）证明△CDG∽△ADE，据此即可求解．

解答 解：（1）在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠CDG=∠ADE}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE=CG，
∴AE：CG=1；
（2）结论仍成立．
理由是：
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠CDG=∠ADE}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE=CG，
∴AE：CG=1；
（3）∵AD=4，CD=6，ED=2，GD=3，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{DG}{DE}$，
又∵∠CDG=∠ADE，
∴△CDG∽△ADE，
∴$\frac{AE}{CG}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，根据旋转的性质注意到∠ADE=∠CDG是本题的关键．