Question

14．填空并解答：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁x₂=1．
（2）方程x²-3x-4=0的根为x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=3，x₁x₂=-4．
（3）方程3x²+4x+1=0的根为x₁=$-\frac{1}{3}$，x₂=-1，x₁+x₂=$-\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{1}{3}$．
（4）由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析 （1）首先利用配方法解方程，求得方程的两个解，即可求得两根的和与积；
（2）利用因式分解法可得结果；
（3）利用求根公式，即可求得方程的两个根，进而求得两个根的和与积．
（4）观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积即可得到结论．

解答 解：（1）x²+2x+1=0
即（x+1）²=0
∴x+1=0
∴x=-1
∴x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁x₂=1；
故答案为：-1，-1，-2，1；

（2）∵x²-3x-4=0，
∴（x-4）（x+1）=0
∴x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=3，x₁x₂=-4；
故答案为：4，-1，3，-4；

（3）x=$\frac{-4±\sqrt{{4}^{2}-4×3×1}}{6}$=$\frac{-4±2}{6}$
∴x₁=$-\frac{1}{3}$，x₂=-1，x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$-\frac{1}{3}$，-1，$-\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$；

（4）结论：若方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数，x是未知数）有两个根x₁、x₂，
则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的根与系数之间的关系，关键是正确求得方程的解．