Question

4．如图，A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）若该抛物线经过原点O，且a=-$\frac{1}{3}$，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点P（m，n）在抛物线上，且∠POB锐角，满足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F．先证明△AOB≌△BFD，于是可得到D（3，1），将a=-$\frac{1}{3}$以及点D和点O的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）先证明CD∥x轴，依据题意可知：当∠POB=∠BAO时，恰好∠POB+∠BCD=90°，设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m），由∠POB=∠BAO，可得到tan∠POB=$\frac{1}{2}$，据此可得到关于m的方程，从而可求得m的值，最后依据图形可得到当∠POB+∠BCD＜90°时，m的取值范围．

解答 解：（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F．

∵∠ABD=90°，
∴∠DBF+∠ABO=90°．
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠OAB．
由旋转的性质可知AB=BD．
在△AOB和△BFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠OAB}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFD．
∴DF=OB=1，AO=BF=2．
∴D（3，1）．
把点D和点O的坐标代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+3b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得：b=$\frac{4}{3}$，c=0．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x．

（2）如图2所示：

∵点A（0，2），B（1，0），C为线段AB的中点，
∴C（$\frac{1}{2}$，1）．
∵C、D两点的纵坐标为1，
∴CD∥x轴．
∴∠BCD=∠ABD．
∴当∠POB=∠BAO时，恰好∠POB+∠BCD=90°．
设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{4}{3}$m）．
当点P在x轴上且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{4}{3}m}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{5}{2}$或m=0（舍去）．
当点P位于x轴的下方，点P′处时，且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{4}{3}m}{m}$=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{11}{2}$或m=0（舍去）．
∵∠POB为锐角，
∴m≠4．
由图形可知：当点P在抛物线上P与P′之间移动时，∠POB+∠BCD＜90°．
∴m的取值范围是：$\frac{5}{2}$＜m＜$\frac{11}{2}$且m≠4．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得∠POB+∠BCD=90°时，m的值，然后依据图形确定出m的范围是解题的关键．